把握一些等价的无穷小量。
4.两个重要极限及其推广形式(这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。
5.利用准则i(两边夹法则)和准则ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。
6.利用洛必达法则求0/0型,(无穷)/(无穷)型,0,无穷,无穷-无穷,0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方型函数极限。
需要说明的是,求函数极限的方法很多,到底用哪一种方法简单,这需要具体问题具体分析。有时对一个问题,我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换,可以大大减少计算量,同时也减少了出错的可能。
三、学习高等数学,注重自始至终要做到学习与思考相结合。整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道,“学而不思则罔,思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来,才能不断发现问题,有所收获。碰到一些典型问题要多加考虑,追根溯源,这样不管问题如何变化,都能
做到游刃有余。
对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的,由于该函数较为抽象,学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时,有公式,我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时,应该有对应的公式成立。再往深处思考,我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x),积分下限为变量x的函数a(x)时,应该有更相对应的公式成立。通过思考若能把握这些要点,那么再次碰到有关变上、下限的积分函数的问题,都可轻松解决了。
四、学习高等数学时,还要多加注重问题与问题之间的联系,做到自觉灵活地分析和解决问题。
对于1/x的不定积分,其一个原函数为lnx,这是一个大家都很熟悉的公式,再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)c。假如将这两个知识点联系起来,便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分,教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所碰到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异,因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式,从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法;二是换元积分法,具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法;三是分部积分法。积分时选用哪一种方法,这就要根据题目的特点来定,当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说,被积函数中含有1/x和lnx,联系它们之间的关系,我们可选用换元法中的凑微分法,将(1/x)dx写成d(lnx),此类问题即可迎刃而解。
五、学习高等数学,日常练习是必不可少的。通过练习,一方面可以回顾、巩固所学知识,另一方面还可以总结解题的要害和思路。但做练习也要适度,不必沿袭中学的题海战术,练习时尽量找有代表性,少而精的题目。
比如,分段函数是高等数学里一类基础却重要的函数为例。所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的一个函数。分段函数的定义虽然简单,但我们可以利用它联系起来起很多知识。
如已知一分段函数,求:①函数的定义域;②f(1),f(0),f(-3/2),f(1/2);③研究函数在间断点处的连续性与可导性;④求积分f(x)在某个范围的定积分。
通过练习此题的①②④,可以帮助我们深入理解分段函数的定义。对于③的求解,需要用到左、右连续和左、右导数的定义以及函数在某一